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Estudio· Mate 4º ESO· Bloque 3 · Funciones
Bloque 3 de 4 · Lectura visual

Una función es una máquina: metés \(x\), te devuelve \(y\)

Idea bala

"Para dibujarla bien necesitás 3 cosas: qué valores de \(x\) están permitidos (dominio), por dónde pasa (cortes con ejes), y qué forma tiene (recta, parábola)."

Composición editorial abstracta sobre funciones y parábolas
01 · Las 4 ideas clave

Lo que siempre piden en el examen de funciones

Cuatro técnicas: dominio, leer gráfica, representar parábola y representar recta.

3.1 · Dominio

Qué valores de \(x\) están permitidos

Solo hay 2 prohibiciones: (1) el denominador no puede ser 0 → igualas el denominador a 0 y quitas esos valores. (2) dentro de una raíz par (cuadrada, cuarta…) no puede haber negativos → lo de dentro \(\ge 0\) (es una inecuación). Si no hay ni fracción ni raíz, dominio = \(\mathbb{R}\).

🚦 Dos semáforos: denominador = 0 y raíz negativa. Si pasás de largo, error.
3.2 · Leer una gráfica

Mirando el dibujo, sin fórmulas

Dominio: qué trozo del eje horizontal (\(x\)) ocupa la curva. Recorrido: qué trozo del eje vertical (\(y\)) alcanza. Crece/decrece: de izquierda a derecha, ¿sube o baja? Máx/mín: las cimas y los valles.

🗻 Como leer un mapa de relieve. Las cumbres son máximos, los valles son mínimos.
3.3 · Representar una parábola \(f(x) = ax^2 + bx + c\)

Es una U — necesitás 3 cosas para dibujarla

(1) Vértice: \(x_v = -\dfrac{b}{2a}\), \(y_v = f(x_v)\). (2) Cortes con \(y\): \(f(0) = c\). (3) Cortes con \(x\): resolvés \(f(x) = 0\). Si \(a > 0\) abre hacia arriba (\(\cup\)), si \(a < 0\) hacia abajo (\(\cap\)).

Regla de oro: el vértice es siempre el mínimo (si abre arriba) o el máximo (si abre abajo). La parábola es simétrica respecto a la recta vertical \(x = x_v\).
3.4 · Representar una recta

Despejar \(y\) y leer pendiente + ordenada

Pasás la ecuación a la forma \(y = mx + n\). La \(m\) es la pendiente (positiva = sube, negativa = baja). La \(n\) es la ordenada al origen (donde corta el eje \(y\)). Con dos puntos ya trazás la recta.

📐 La pendiente dice "cuánto sube por cada paso a la derecha". Si \(m = 2\), sube 2 por cada 1 que avanza.
02 · Videos · Uno por técnica

Las 4 técnicas del bloque, una por video

Cada video corresponde a una idea clave de arriba. Velos en orden si vas perdida, o salta al que necesites.

⭐ Susi Profe · 3.3 Parábolas

Representar una parábola (vértice + cortes + ramas)

Susi Profe · 3.1

Dominio de funciones (fracción, raíz, ambas)

Susi Profe · 3.2

Lectura de gráficas (dominio, recorrido, crecimiento, máx/mín)

Susi Profe · 3.4a

Función lineal · Pendiente y ordenada al origen

Susi Profe · 3.4b

Sacar la ecuación de la recta a partir de su gráfica

03 · Trampas comunes

Errores que cuestan puntos seguros

⚠️ Trampa 1

Dominio: olvidar la raíz par

Solo hay 2 prohibiciones: denominador ≠ 0 y dentro de raíz par ≥ 0.

❌ Dominio de \(\sqrt{x+3}\) = \(\mathbb{R}\)
✅ Dominio = \([-3, +\infty)\)
⚠️ Trampa 2

Confundir signo del vértice

La fórmula es \(x_v = -\dfrac{b}{2a}\), con su signo negativo. Si \(b > 0\), el vértice queda a la izquierda del eje \(y\).

❌ \(f(x)=x^2+4x\) → \(x_v = 4/2 = 2\)
✅ \(x_v = -4/2 = -2\)
⚠️ Trampa 3

Recta: no despejar la \(y\)

Antes de leer la pendiente, hay que dejar \(y = mx + n\). Si tenés \(5x - 6y + 2 = 0\), primero despejá \(y\).

⚠️ Trampa 4

Leer mal el dominio en gráfica

El dominio es el trozo de eje x que la curva ocupa, no la altura. Mira de izquierda a derecha, no de abajo a arriba.

04 · Calentamiento

Un dominio fácil

Calentamiento · Dominio

Halla el dominio:

$$ f(x) = \dfrac{3}{x - 4} $$

💡 No hay raíz, solo fracción. Hay que excluir los valores que anulan el denominador.

1Igualar denominador a 0
$$ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 $$
★Resultado
Excluimos \(x = 4\):
$$ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{4\} $$
05 · Ejercicios del examen

Los 4 que tienen que salir

Examen · Funciones Q1a · Dominio (raíz + fracción)

Halla el dominio:

$$ f(x) = \sqrt{\dfrac{2x + 4}{3x + 9}} $$

💡 Dos restricciones: el denominador ≠ 0 Y la fracción dentro de la raíz ≥ 0.

1Restricción del denominador
$$ 3x + 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 $$
2Restricción de la raíz
Lo de dentro debe ser \(\ge 0\). Hallás dónde el numerador y el denominador cambian de signo y pintás la recta.
$$ 2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2 $$ $$ 3x + 9 = 0 \Rightarrow x = -3 $$
3Estudio de signos
$$ x < -3 : (-)/(-) = (+) \quad ✓ $$ $$ -3 < x < -2 : (-)/(+) = (-) \quad ✗ $$ $$ x > -2 : (+)/(+) = (+) \quad ✓ $$
★Resultado
$$ \text{Dom}(f) = (-\infty, -3) \cup [-2, +\infty) $$
Nota: \(x=-2\) sí entra (raíz de \(0\) vale), pero \(x=-3\) no porque anula el denominador.
Examen · Funciones Q1b · Dominio (fracción con cuadrática)

Halla el dominio:

$$ f(x) = \dfrac{5}{x^2 - 2x - 3} $$

💡 Sola restricción: denominador ≠ 0. Factorizar la cuadrática o usar la fórmula general.

1Igualar denominador a 0
$$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$
2Fórmula general
$$ x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} $$ $$ x = 3 \quad \text{o} \quad x = -1 $$
★Resultado
$$ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{-1, 3\} $$
Examen · Funciones Q3 · Representar parábola

Representa \(f(x) = x^2 + 3x - 4\) indicando vértice y cortes con los ejes:

$$ f(x) = x^2 + 3x - 4 $$

💡 \(a=1>0\) → abre hacia arriba (\(\cup\)). Vértice con la fórmula \(x_v=-b/(2a)\). Cortes con \(y\) en \(f(0)\), cortes con \(x\) resolviendo \(f(x)=0\).

1Vértice
$$ x_v = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{3}{2} = -1{,}5 $$ $$ y_v = (-1{,}5)^2 + 3(-1{,}5) - 4 = 2{,}25 - 4{,}5 - 4 = -6{,}25 $$ $$ V = (-1{,}5,\ -6{,}25) $$
2Corte con \(y\) (\(x=0\))
$$ f(0) = -4 \quad \Rightarrow \quad (0, -4) $$
3Cortes con \(x\) (\(f(x)=0\))
$$ x^2 + 3x - 4 = 0 $$ $$ x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \dfrac{-3 \pm 5}{2} $$ $$ x = 1 \quad \text{o} \quad x = -4 $$ $$ (1, 0) \quad \text{y} \quad (-4, 0) $$
★Resultado
Parábola con \(\cup\), vértice abajo a la izquierda:
$$ V = (-1{,}5,\ -6{,}25) \quad \cdot \quad \text{cortes: } (-4, 0),\ (1, 0),\ (0, -4) $$
Examen · Funciones Q4 · Recta

Halla pendiente, ordenada al origen y cortes con los ejes:

$$ 5x - 6y + 2 = 0 $$

💡 Primero despeja la \(y\) para dejarla \(y = mx + n\).

1Despejar \(y\)
$$ 6y = 5x + 2 \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{5}{6}x + \dfrac{1}{3} $$
2Identificar
$$ m = \dfrac{5}{6} \quad \text{(pendiente)}, \quad n = \dfrac{1}{3} \quad \text{(ordenada al origen)} $$
3Cortes con los ejes
Con eje \(y\): \(x = 0\). Con eje \(x\): \(y = 0\).
$$ (x = 0) : y = \tfrac{1}{3} \Rightarrow (0,\ \tfrac{1}{3}) $$ $$ (y = 0) : 0 = \tfrac{5}{6}x + \tfrac{1}{3} \Rightarrow x = -\tfrac{2}{5} \Rightarrow (-\tfrac{2}{5},\ 0) $$
★Resultado
$$ m = \tfrac{5}{6}, \quad n = \tfrac{1}{3}, \quad \text{cortes: } (0, \tfrac{1}{3}),\ (-\tfrac{2}{5}, 0) $$
06 · Tablero de práctica infinita

Practicá sin límite — generador + tablero

Ejercicio #1
Cargando...
Resolvé arriba primero.
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