Ecuaciones e Inecuaciones · 4º ESO

01 · Las 5 ideas clave

Una técnica por tipo de problema

Saber identificar el tipo es la mitad del ejercicio. La otra mitad es ejecutar la técnica correcta.

2.1 · Inecuaciones (1º y 2º grado)

Igual que una ecuación, pero con la regla del signo

Se resuelven exactamente como ecuaciones, pero si multiplicás o dividís por un número negativo, le das la vuelta al signo de la desigualdad ($<$ pasa a $>$, $\le$ pasa a $\ge$). La solución es un intervalo, no un número.

⚖️ Como una balanza: si la giras al revés, lo que estaba arriba queda abajo.

Regla de oro: en inecuaciones de 2º grado ($ax^2+bx+c<0$) — primero hallás las raíces, las pintás en la recta, y miras en qué tramo se cumple la desigualdad.

2.2 · Ecuaciones de 1º y 2º grado

El orden importa: paréntesis → denominadores → reagrupar

Siempre el mismo proceso: (1) quitar paréntesis distribuyendo, (2) quitar denominadores multiplicando por el mcm, (3) dejar todo a un lado e igualar a 0. Si queda de 2º grado, fórmula general.

🧅 Como pelar una cebolla: capa por capa, en orden, hasta llegar al centro.

Fórmula general: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Cuidado con el discriminante: si es negativo, no hay solución real.

2.3 · Ecuaciones especiales (grado >2, racionales, radicales)

Cada tipo, su técnica

Grado 3 o más: Ruffini para bajar el grado. Racionales (x en denominador): multiplicar por el mcm — pero verificar que la solución no anule un denominador. Radicales (raíz): aislar la raíz, elevar al cuadrado — pero verificar que la solución sea real (pueden salir falsas).

🔑 Cada problema tiene su llave. Si llevás la llave equivocada, no abre.

Regla de oro: en racionales y radicales, siempre comprobar la solución al final. Pueden salir valores "fantasma" que no resuelven la ecuación original.

2.4 · Sistemas de ecuaciones

Sustitución es la que vale para casi todo

Tres métodos posibles (sustitución, igualación, reducción) pero basta dominar sustitución. Cuando una ecuación tiene $x^2$ o $y^2$ (sistema no lineal): se despeja la variable de la ecuación fácil y se mete en la cuadrática.

🔁 Como traducir una frase a otro idioma: cambias una variable por su equivalente y resuelves lo que queda.

Regla de oro: en sistemas no lineales, casi siempre salen dos soluciones (dos pares $(x,y)$). No te quedes con una sola — comprueba ambas.

2.5 · Sistemas de inecuaciones

Dos filtros — solo pasa lo que cumple ambos

Resolvés cada inecuación por separado, y la solución final es la intersección (los valores que cumplen las dos a la vez).

🚪 Como un control de acceso doble: tenés que pasar las dos puertas para entrar.

02 · Videos · Uno por técnica

Bloque más pesado — 5 videos, uno por sub-tema

Mirá cada video justo antes del ejercicio del examen correspondiente. No los veas seguidos.

⭐ Susi Profe · El patrón más frecuente

Ecuaciones con denominadores (mcm, despejar, reagrupar)

Susi Profe · 2.1

Inecuaciones de 1º grado (y la regla del signo)

Susi Profe · 2.2

Ecuaciones de 2º grado (fórmula general, incompletas, con fracciones)

Susi Profe · 2.3a

Ecuaciones racionales / bicuadradas / grado mayor

Susi Profe · 2.3b

Ecuaciones con radicales (raíz) — siempre verificar al final

Susi Profe · 2.4

Sistemas de ecuaciones (lineales y NO lineales)

💡 Las inecuaciones de 2º grado (Q2 del examen) están cubiertas al final del video de Inecuaciones — escuchalo hasta el final.

03 · Trampas comunes

Tres errores que cuestan puntos seguros

Los tres tropiezos clásicos en este bloque. Conocerlos te ahorra el punto.

⚠️ Trampa 1

Olvidar el cambio de signo en inecuaciones

Cuando dividís ambos lados por un negativo, la desigualdad se voltea.

❌ −2x > 6 ⟹ x > −3

✅ −2x > 6 ⟹ x < −3

⚠️ Trampa 2

Soluciones "fantasma" en ecuaciones racionales

Si la solución anula un denominador del original, no vale. Hay que descartarla.

Ej: si la sol es $x = 1$ pero hay un $(x-1)$ en denominador, ❌ no vale.

⚠️ Trampa 3

No verificar soluciones tras elevar al cuadrado

Al elevar al cuadrado una ecuación con raíz, pueden aparecer soluciones falsas. Siempre comprobar sustituyendo en la ecuación original.

⚠️ Trampa 4

Confundir intersección con unión en sistemas de inecuaciones

La solución es la intersección (los valores que cumplen las dos), no la unión.

✅ Solución = lo que cumple ambas a la vez

04 · Calentamiento

Un fácil para soltar la mano

Calentamiento · Inecuación de 1º grado

Resuelve:

$2x + 3 > 7$

💡 Despeja $x$ como en una ecuación normal. Acá no hay división por negativo, así que no se voltea el signo.

1Restar 3

$$ 2x > 7 - 3 \quad \Rightarrow \quad 2x > 4 $$

2Dividir entre 2

El 2 es positivo, no se voltea el signo.

$$ x > 2 $$

★Resultado

Intervalo solución:

$$ x \in (2, +\infty) $$

05 · Ejercicios del examen

Los 5 que tienen que salir

Uno representativo de cada técnica. Intentá primero, después revelá.

Examen · Inecuaciones Q1a · 1º grado

Resuelve:

$$ x + 2x + 3x < 5(1 - x) + 6 $$

💡 Agrupa términos a la izquierda, quita paréntesis a la derecha, despeja.

1Simplificar

$$ 6x < 5 - 5x + 6 \quad \Rightarrow \quad 6x < 11 - 5x $$

2Pasar $-5x$ a la izquierda

$$ 6x + 5x < 11 \quad \Rightarrow \quad 11x < 11 $$

3Dividir entre 11

11 es positivo, signo se queda igual.

$$ x < 1 $$

★Resultado

$$ x \in (-\infty, 1) $$

Examen · Inecuaciones Q2a · 2º grado (producto)

Resuelve:

$$ (x + 1)(2x + 1) \ge 0 $$

💡 Para que un producto sea ≥ 0, los dos factores tienen el mismo signo (o uno es cero). Hallás las raíces y pintás la recta.

1Hallar raíces

$$ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 $$ $$ 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\tfrac{1}{2} $$

2Pintar la recta

Probás cada intervalo con un valor cualquiera para ver el signo del producto.

$$ (-\infty, -1) : (-)(-) = (+) \quad ✓ $$ $$ (-1, -\tfrac{1}{2}) : (+)(-) = (-) \quad ✗ $$ $$ (-\tfrac{1}{2}, +\infty) : (+)(+) = (+) \quad ✓ $$

★Resultado

Como pide $\ge 0$, incluye las raíces:

$$ x \in (-\infty, -1] \cup [-\tfrac{1}{2}, +\infty) $$

Examen · Ecuaciones Q3a · Cuadrática con fracciones

Resuelve:

$$ \left(x - \tfrac{1}{3}\right)^2 + \tfrac{2}{3}x = \tfrac{10}{9} $$

💡 Desarrolla el cuadrado, multiplica todo por 9 para quitar fracciones, agrupa, fórmula general.

1Desarrollar el cuadrado

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, con $a=x$ y $b=\tfrac{1}{3}$.

$$ x^2 - \tfrac{2}{3}x + \tfrac{1}{9} + \tfrac{2}{3}x = \tfrac{10}{9} $$

2Simplificar

Los $\tfrac{2}{3}x$ y $-\tfrac{2}{3}x$ se cancelan.

$$ x^2 + \tfrac{1}{9} = \tfrac{10}{9} $$

3Despejar $x^2$

$$ x^2 = \tfrac{10}{9} - \tfrac{1}{9} = \tfrac{9}{9} = 1 $$

★Resultado

Raíz cuadrada (con los dos signos):

$$ x = \pm 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \ \text{o}\ x = -1 $$

Examen · Ecuaciones Q3c · Grado 3 (Ruffini + cuadrática)

Resuelve:

$$ 3x^3 - 10x^2 + 9x - 2 = 0 $$

💡 Como es de grado 3, primero Ruffini para bajar grado. Prueba con divisores de 2: $\pm 1, \pm 2$.

1Ruffini con $a=1$

$$ \begin{array}{c|cccc} & 3 & -10 & 9 & -2 \\ 1 & & 3 & -7 & 2 \\ \hline & 3 & -7 & 2 & \boxed{0} \end{array} $$ $$ \text{Sol parcial: } x = 1, \text{ queda } 3x^2 - 7x + 2 = 0 $$

2Fórmula general

$$ x = \dfrac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6} = \dfrac{7 \pm 5}{6} $$ $$ x = 2 \quad \text{o} \quad x = \tfrac{1}{3} $$

★Resultado

$$ x = 1, \quad x = 2, \quad x = \tfrac{1}{3} $$

Examen · Sistemas Q4b · No lineal (recta + circunferencia)

Resuelve el sistema:

$$ \begin{cases} x - y + 3 = 0 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $$

💡 Sustitución: despeja $y$ de la primera ecuación (es la fácil) y mete en la segunda.

1Despejar $y$ de la 1ª

$$ y = x + 3 $$

2Sustituir en la 2ª

$$ x^2 + (x+3)^2 = 5 $$ $$ x^2 + x^2 + 6x + 9 = 5 $$ $$ 2x^2 + 6x + 4 = 0 $$ $$ x^2 + 3x + 2 = 0 $$

3Resolver cuadrática

$$ x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \dfrac{-3 \pm 1}{2} $$ $$ x = -1 \quad \text{o} \quad x = -2 $$

4Calcular $y$ en cada caso

$$ x = -1 \Rightarrow y = -1 + 3 = 2 $$ $$ x = -2 \Rightarrow y = -2 + 3 = 1 $$

★Resultado

Dos pares solución:

$$ (x, y) = (-1, 2) \quad \text{y} \quad (x, y) = (-2, 1) $$

06 · Tablero de práctica infinita

Practicá sin límite — generador + tablero

Elegí el tipo, generá ejercicios nuevos cada vez, resolvé en pantalla con dedo o lápiz óptico.

Ejercicio #1

Cargando...

Resolvé arriba primero.

✓ Solución

Al menos 5 de cada tipo antes del examen.

Resolver es deshacer un nudo

Una técnica por tipo de problema

Igual que una ecuación, pero con la regla del signo

El orden importa: paréntesis → denominadores → reagrupar

Cada tipo, su técnica

Sustitución es la que vale para casi todo

Dos filtros — solo pasa lo que cumple ambos

Bloque más pesado — 5 videos, uno por sub-tema

Ecuaciones con denominadores (mcm, despejar, reagrupar)

Inecuaciones de 1º grado (y la regla del signo)

Ecuaciones de 2º grado (fórmula general, incompletas, con fracciones)

Ecuaciones racionales / bicuadradas / grado mayor

Ecuaciones con radicales (raíz) — siempre verificar al final

Sistemas de ecuaciones (lineales y NO lineales)

Tres errores que cuestan puntos seguros

Olvidar el cambio de signo en inecuaciones

Soluciones "fantasma" en ecuaciones racionales

No verificar soluciones tras elevar al cuadrado

Confundir intersección con unión en sistemas de inecuaciones

Un fácil para soltar la mano

Resuelve:

Los 5 que tienen que salir

Resuelve:

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Resuelve el sistema:

Practicá sin límite — generador + tablero